Lei da Gravitação Universal (Newton)

Isaac Newton formulou a lei que descreve quantitativamente a força gravitacional entre dois corpos:

 

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

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Onde:

• $F$= força gravitacional (N)

• $m_1, m_2$ = massas dos corpos (kg)

• $r$= distância entre os centros de massa (m)

• $G$= constante gravitacional ($6,674\times {10}^{-11}\text{N}\text{m²/kg²)}$

   

Observação: A força é sempre atrativa e atua ao longo da linha que une os centros de massa dos corpos.

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Peso e Gravidade na Terra

O peso é a força com que a Terra atrai um corpo:

 

$$P = m \cdot g$$

 

• $m$

  = massa do corpo (kg)

• $g$

  = aceleração da gravidade (

  $\approx 9,8 \, m/s^2$

  na superfície da Terra)

Relação com a Lei de Newton: O peso é a força gravitacional entre o corpo e a Terra:

 

$$P = G \frac{M_\text{Terra} \cdot m}{R_\text{Terra}^2}$$

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Campo Gravitacional

O campo gravitacional

$g$

g em um ponto é a força por unidade de massa que um corpo sentiria nesse ponto:

 

$$g = \frac{F}{m} = G \frac{M}{r^2}$$

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• $M$

  = massa do corpo gerador do campo

• $r$

  = distância até o centro de massa

O campo gravitacional é direcionado para o centro de massa do corpo que o gera.

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Órbitas e Leis de Kepler

As órbitas dos planetas ao redor do Sol são elipses, mas podem ser aproximadas por círculos em muitos cálculos simples. A gravitação é a força responsável por manter os planetas em órbita.

• Primeira Lei de Kepler: os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.

• Segunda Lei: a linha que une planeta e Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

• Terceira Lei:

  $T^2 \propto r^3$, relacionando período orbital

  $T$e raio médio da órbita

  $r$.

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Exemplos Resolvidos

Força entre dois corpos
Dois corpos, de 50 kg e 70 kg, estão separados por 2 m. Determine a força gravitacional entre eles.

 

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = 6,674\times10^{-11} \frac{50 \cdot 70}{2^2}$$

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$$F = 6,674 \times 10^{-11} \frac{3500}{4} = 6,674 \times 10^{-11} \cdot 875$$

 

$$F \approx 5,84 \times 10^{-8} \, N$$

 

A força é extremamente pequena comparada a forças do dia a dia.

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 Peso na superfície da Terra
Um objeto de 60 kg está na Terra. Determine seu peso.

 

$$P = m \cdot g = 60 \cdot 9,8 \approx 588 \, N$$

 

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Gravidade em outro planeta
Um planeta tem massa

$3 \times 10^{24} \, kg$

 e raio

$4 \times 10^6 \, m$

. Qual a aceleração da gravidade na superfície?

 

$$g = G \frac{M}{R^2} = 6,674\times10^{-11} \frac{3\times10^{24}}{(4\times10^6)^2}$$

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$$g = 6,674\times10^{-11} \frac{3\times10^{24}}{16\times10^{12}} = 6,674\times10^{-11} \cdot 1,875\times10^{11}$$

 

$$g \approx 12,5 \, m/s^2$$

 

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Aplicações

• Satélites artificiais em órbita: GPS, telecomunicações.

• Marés: atração gravitacional da Lua e do Sol.

• Pesquisas em astronomia e exploração espacial.