Função horária da posição
Conforme um corpo se desloca, a posição dele modifica conforme o tempo vai passando. A relação entre a localização de um móvel e o tempo é conhecida como função horária da posição. Nesse primeiro caso iremos estudar a função horária da posição no Movimento Retilíneo Uniforme. Logo depois, iremos estudar a função horária da velocidade para esse mesmo tipo de movimento. Uma função horária, como o nome diz, relaciona uma variável com o tempo. Ou ainda, para cada instante t podemos obter uma posição x específica.
Uma função horária também precisa determinar as unidades de medidas envolvidas na questão. Para a função horária da posição, as unidades podem ser quilômetro (km), metros (m), centímetros (cm); horas (h), minutos (min), segundos (s).
A função horária da posição para o Movimento Retilíneo Uniforme é:
Onde x é a posição do móvel em um determinado instante
xo é a posição inicial do móvel
v é a velocidade do móvel
t é o tempo
Exemplo 1: A tabela abaixo indica como as posições de um móvel, em movimento retilíneo uniforme, variam com o passar do tempo:
a) O movimento desse móvel é progressivo ou retrógado? Justifique.
b) Determine a posição inicial x0 e a velocidade v do movimento.
c) Determine a função horária do movimento desse móvel.
Resolução:
a) O movimento é retrógrado, pois as posições do móvel estão descrescendo com o passar do tempo.
b) A posição inicial x0 é a posição ocupada pelo móvel no instante t=0, ou seja, x0= 40m.
Como o movimento é uniforme, em qualquer instante a velocidade será a mesma, ou seja, a velocidade média será igual a velocidade constante do móvel. Assim, para calcular a velocidade fizemos:
c) A função horária do espaço é da dada pela seguinte equação:
Substituindo os valores de x0 e v obtidos no item b, podemos escrever:
Exemplo 2: Os móveis A e B realizam movimentos uniformes e são mostrados na figura abaixo no instante t = 0. O móvel A descreve um movimento retrógrado com velocidade igual a 3 m/s, e o móvel B, em um movimento progressivo com velocidade de 4 m/s. As posições dos móveis estão representadas na figura abaixo.
Determine:
a) a função horária da posição para cada um dos móveis;
b) a distância entre A e B no instante t = 0;
c) o instante do encontro dos móveis;
d) a distância entre A e B no instante t = 20 s;
e) o instante em que A passará pela origem.
Resolução:
Como dito no enunciado da questão, os dois móveis descrevem um MRU, pois estão andando com velocidade constante. A função horária para ambos os móveis é dada para a equação:
Substituindo os valores da posição inicial e para a velocidade de cada móvel, ficamos com as seguintes funções horárias:
Para o móvel A:
Para o móvel B:
b) No intante t = 0, o móvel A ocupa a posição 45 m e o móvel B ocupa a posição 10 m. Então a distância entre eles é 45-10 = 35m.
c) Para resolvermos os problemas de “encontro de dois móveis”, devemos igual as posições de A e B. Ou seja, eles irão se encontrar quando as posições de ambos forem iguais. Assim, igualamos as funções horárias de A e B, representadas no ítem A.
d) No instante t = 20 s, iremos calcular a posição dos móveis separadamente e ver a distância entre eles:
Ou seja, a distância entre eles será: 90 m – (-15 m) = 105 m.
e) O instante que o móvel A passará pela origem será quando a posição do móvel A for igual a zero, ou seja:
Gráfico Velocidade x Tempo (v x t)
Muitas vezes em livros de Física, os autores estabelecem diferentes formas de denominar algumas grandezas. Como é o caso de distância. Anteriormente, definimos distância a partir da letra d, mas a partir de agora quando falarmos em distância horizontal, essa grandeza será representada pela letra x. Em muitos livros, essa grandeza é representada pela letra S, em referência ao termo em inglês space. Ou seja, para não confundirmos, nesse material iremos adotar a letra x.
O primeiro gráfico que iremos estudar é o gráfico que representa o comportamento da velocidade v em função do tempo t.
Tomando por referência o eixo horizontal do gráfico acima, observamos que o tempo aumenta para a direita. Enquanto que no eixo horizontal, a velocidade aumenta para cima. Ao olharmos o gráfico, observamos que para qualquer valor de tempo, o valor da velocidade é o mesmo. Ou seja, a leitura do gráfico no diz que a velocidade com o passar do tempo é constante. Conforme já havíamos discutido anteriormente sobre o MRU.
Outro gráfico que é importante para o estudo do MRU é o gráfico da posição X versus tempo t. O gráfico mostrado abaixo nos mostra que a distância percorrido por um objeto em um movimento retilíneo uniforme é diretamente proporcional ao tempo decorrido nesse percurso. Ou ainda, conforme os valores do tempo aumentam, aumentam também os valores da distância.
Gráfico Posição x Tempo (v x t)
Um ponto importante na análise gráfica em um MRU é a questão da inclinação da reta (na cor vermelha) do gráfico x versus t. Para isso, tomamos dois pontos quaisquer, como os pontos A e B do gráfico abaixo.
No gráfico acima observamos que a distância variou de 60 m a 180 m e o tempo variou de 1 s a 3 s. Em Física e Matemática, usamos como símbolo de variação a letra grega delta (Δ). Representamos Δx como a variação da distância e Δt a variação do tempo. Outro ponto a ser observado nesse gráfico é a inclinação da reta vermelha. Podemos definir a inclinação como:
Nesse caso específico do gráfico, podemos calcular a inclinação como:
Do ponto de vista da Física, podemos interpretar a inclinação como a velocidade da reta, nesse caso. Assim sendo, o valor obtido acima é a velocidade do móvel, ou seja: 60 km/h.
Resumindo: a inclinação de uma reta no gráfico x versus t para um movimento retilíneo uniforme nos fornece o valor da velocidade do movimento, ou ainda:
Exemplo 3: O gráfico da função horária x= x0+vt, do movimento uniforme de um móvel, é dado pelo gráfico abaixo. Pode-se afirmar que o móvel tem velocidade constante, em m/s, igual a:
a) 4
b) 2
c) 0,10
d) 0,75
e) 0,25
Resolução: Observamos nesse problema que trata-se de um MRU. Ou seja, com velocidade constante. Para determinarmos essa velocidade constante, podemos calcular a inclinação da reta.
Resposta é a letra (e)
Exemplo 4: Duas partículas A e B movem-se numa mesma trajetória, e o gráfico a seguir indica suas posições (s) em função do tempo (t). Pelo gráfico podemos afirmar que as partículas:
a) movem-se no mesmo sentido;
b) movem-se em sentidos opostos;
c) no instante t = 0, encontram-se a 40 m uma da outra;
d) movem-se com a mesma velocidade;
e) não se encontram.
Resolução: A primeira percepção que temos desse movimento é retilíneo e uniforme, pois é um gráfico x x t e é representado por uma reta.
Em relação ao item (a), observamos que a partícula A sai inicialmente da posição 40 m e chega na posição 0. Ou seja, está diminuindo suas posições. E a partícula B sai inicialmente da posição 5 m e aumenta suas posições conforme o tempo passa. Assim, podemos inferir que eles não estão se movendo no mesmo sentido. Uma está aumentando e outra está diminuindo suas posições.
O item (c) diz que os móveis estão inicialmente distantes 40 m. Pelo gráfico vemos que eles estão no tempo t = 0 a uma distância de 40 – 5 = 35 m.
O item (d) diz que ambos possuem a mesma velocidade. Como vimos, a velocidade é dada pela inclinação da reta. Como elas possuem inclinação diferente, podemos interpretar que a velocidade é diferentes para as partículas.
O item (e) diz que as partículas não se encontram. O que não é correto, pois no gráfico vemos que no tempo t = 5 s os gráficos se cruzam.
Assim, a alternativa correta é a letra (b), pois, conforme vimos na letra (a), as partículas estão se deslocando em sentidos opostos.
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